Pythagore, c’est LE chapitre clé de la 4e en maths. Une fois que tu le maîtrises, tu peux calculer la longueur d’un côté dans n’importe quel triangle rectangle, vérifier si un triangle est rectangle, et résoudre des tonnes de problèmes concrets (échelles, diagonales, distances). Et bonne nouvelle : ce chapitre tombe presque chaque année au brevet en 3e, donc le travail que tu fais maintenant, tu le rentabilises pendant deux ans. Voici 6 exercices Pythagore 4e gratuits progressifs, du plus simple au plus complexe, avec corrections détaillées. Tu vas voir : une fois la formule comprise et la méthode bien rodée, ça devient mécanique.
Rappel du théorème de Pythagore
Énoncé strict : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, dans un triangle ABC rectangle en A, on a la formule magique :
BC² = AB² + AC²
Ou plus généralement, si tu nommes les côtés a et b (les côtés de l’angle droit) et c (l’hypoténuse) :
a² + b² = c²
À retenir absolument :
- L’hypoténuse est le plus long côté du triangle, et c’est toujours celui opposé à l’angle droit.
- La formule ne s’applique qu’aux triangles rectangles. Pas de triangle rectangle = pas de Pythagore.
- L’hypoténuse est toujours seule d’un côté de la formule, et elle est au carré, comme les deux autres côtés.
Condition d’application : avant d’écrire la formule, tu dois vérifier (ou être sûr) que le triangle est rectangle. Si l’énoncé dit “ABC rectangle en A”, c’est ok. Sinon, il faudra peut-être utiliser la réciproque pour le démontrer.
Rappel de la réciproque de Pythagore
Énoncé : Si dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (et l’angle droit est opposé au plus long côté).
À quoi ça sert ? À démontrer qu’un triangle est rectangle quand on connaît ses trois longueurs.
Méthode en 3 étapes :
- Identifie le plus long côté.
- Calcule séparément son carré d’un côté, et la somme des carrés des deux autres côtés de l’autre.
- Compare. Si c’est égal, le triangle est rectangle (par la réciproque). Si ce n’est pas égal, il ne l’est pas (par la contraposée).
6 exercices de Pythagore 4e
Exercice 1 - Calculer l’hypoténuse (niveau : ⭐)
ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calcule BC.
Étape 1 : pose la formule. ABC est rectangle en A, donc l’hypoténuse est BC. BC² = AB² + AC²
Étape 2 : remplace par les valeurs. BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Étape 3 : prends la racine carrée. BC = √25 = 5
✅ Correction : BC = 5 cm. (C’est le célèbre triangle 3-4-5, à mémoriser.)
Exercice 2 - Calculer un côté de l’angle droit (niveau : ⭐⭐)
DEF est un triangle rectangle en D. On donne EF = 13 cm et DE = 5 cm. Calcule DF.
Attention : ici, on connaît l’hypoténuse (EF, opposée à l’angle droit en D) et un côté de l’angle droit. On cherche l’autre côté de l’angle droit.
Pose la formule : EF² = DE² + DF² 13² = 5² + DF² 169 = 25 + DF² DF² = 169 - 25 = 144 DF = √144 = 12
✅ Correction : DF = 12 cm. (Triangle 5-12-13, autre triangle “magique” à mémoriser.)
Astuce : quand tu cherches un côté de l’angle droit, tu soustrais au lieu d’additionner. Hypoténuse au carré moins l’autre côté au carré.
Exercice 3 - Vérifier si un triangle est rectangle (niveau : ⭐⭐)
GHI est un triangle tel que GH = 6 cm, HI = 8 cm et GI = 10 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Étape 1 : repère le plus long côté → GI = 10 cm.
Étape 2 : calcule séparément. D’un côté : GI² = 10² = 100 De l’autre : GH² + HI² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
Étape 3 : compare. GI² = GH² + HI². L’égalité est vérifiée.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle, et l’angle droit est opposé au plus long côté GI, donc en H.
✅ Correction : Oui, GHI est rectangle en H.
Exercice 4 - Problème concret : échelle contre un mur (niveau : ⭐⭐⭐)
Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Le pied de l’échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur le haut de l’échelle touche-t-il le mur ? Arrondis au cm.
Étape 1 : fais un schéma. Tu obtiens un triangle rectangle dont :
- l’hypoténuse = l’échelle = 5 m,
- un côté de l’angle droit = distance pied/mur = 1,5 m,
- l’autre côté de l’angle droit = hauteur cherchée = h.
Étape 2 : applique Pythagore. 5² = 1,5² + h² 25 = 2,25 + h² h² = 25 - 2,25 = 22,75 h = √22,75 ≈ 4,7697…
✅ Correction : h ≈ 4,77 m, soit environ 4 m 77 cm.
Le réflexe brevet : toujours faire un schéma, toujours nommer les longueurs avant de poser la formule.
Exercice 5 - Problème concret : diagonale d’un rectangle (niveau : ⭐⭐⭐)
ABCD est un rectangle de longueur AB = 8 cm et de largeur BC = 6 cm. Calcule la longueur de sa diagonale AC.
Astuce clé : un rectangle a 4 angles droits, donc le triangle ABC est rectangle en B. La diagonale AC est l’hypoténuse de ce triangle rectangle.
Pose Pythagore dans ABC rectangle en B : AC² = AB² + BC² AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 AC = √100 = 10
✅ Correction : AC = 10 cm.
À retenir : dès que tu vois un rectangle, un carré ou un losange dans un problème, cherche le triangle rectangle “caché” dont la diagonale est l’hypoténuse.
Exercice 6 - Problème complexe : triangle isocèle (niveau : ⭐⭐⭐)
ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 10 cm et BC = 12 cm. H est le pied de la hauteur issue de A. Calcule AH.
Astuce clé : dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base. Donc H est le milieu de BC, et AH est perpendiculaire à BC.
Étape 1 : calcule BH. BH = BC ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm.
Étape 2 : applique Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H. AB² = AH² + BH² 10² = AH² + 6² 100 = AH² + 36 AH² = 100 - 36 = 64 AH = √64 = 8
✅ Correction : AH = 8 cm.
Le réflexe brevet : dans un isocèle ou un équilatéral, la hauteur découpe la base en deux et crée deux triangles rectangles. C’est l’astuce qui débloque 90 % des exos “compliqués”.
Méthode pour ne jamais se tromper avec Pythagore
Pythagore, ce n’est pas une question d’intuition, c’est une question de méthode. Si tu suis ces 5 étapes à chaque fois, tu ne te trompes plus.
1. Repère le triangle rectangle et son sommet droit. Avant tout, identifie le triangle dans lequel tu vas appliquer Pythagore, et le sommet où se trouve l’angle droit. Souligne-le sur ta feuille.
2. Identifie l’hypoténuse. C’est le côté opposé à l’angle droit, et c’est toujours le plus long. Dans un triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est BC.
3. Pose la formule en nommant les côtés. Écris d’abord BC² = AB² + AC² avec les noms du triangle, puis remplace par les valeurs. Ne saute jamais cette étape : c’est elle qui te rapporte des points même si le calcul final est faux.
4. Calcule les carrés un par un, puis additionne (ou soustrais). Ne fais pas tout en une ligne. 3² = 9, 4² = 16, somme = 25. Étape par étape.
5. Prends la racine carrée à la toute fin. Si BC² = 25, alors BC = √25 = 5. N’oublie pas l’unité (cm, m…) dans la réponse finale.
Le piège classique : confondre hypoténuse et côté de l’angle droit. Si tu cherches un côté de l’angle droit, tu soustrais le carré de l’autre côté au carré de l’hypoténuse. Si tu cherches l’hypoténuse, tu additionnes.
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Questions fréquentes
Quand peut-on appliquer le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle. C'est la condition absolue. Si l'énoncé précise que le triangle est rectangle (par exemple 'ABC rectangle en A'), tu peux directement écrire la formule BC² = AB² + AC². Si tu n'es pas sûr que le triangle est rectangle mais que tu connais les trois longueurs, c'est la réciproque qu'il faut utiliser pour le démontrer. Pas de triangle rectangle, pas de Pythagore : c'est la règle d'or.
Quelle est la différence entre Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème direct part du fait qu'un triangle est rectangle pour calculer une longueur manquante : tu connais deux côtés, tu trouves le troisième. La réciproque fait l'inverse : tu connais les trois longueurs et tu veux savoir si le triangle est rectangle. Tu compares le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres. Si c'est égal, le triangle est rectangle (et l'angle droit est opposé au plus long côté). Si c'est différent, il ne l'est pas. Dans une rédaction, écris toujours 'd'après le théorème de Pythagore' ou 'd'après la réciproque du théorème de Pythagore' pour montrer lequel tu utilises.
Comment retenir la formule a² + b² = c² ?
L'astuce mnémo la plus simple : 'l'hypoténuse au carré, c'est la somme des deux autres au carré'. L'hypoténuse est toujours seule d'un côté du signe égal, et c'est toujours le plus long côté (celui opposé à l'angle droit). Mémorise aussi les deux triangles 'magiques' qui reviennent souvent : le 3-4-5 (3² + 4² = 5²) et le 5-12-13 (5² + 12² = 13²). Si tu vois ces nombres dans un exercice, tu sais que c'est un triangle rectangle. Enfin, fais 5 exercices simples par jour pendant une semaine : la formule devient automatique.
