Les dérivées font peur, mais elles sont la clé de tout le programme de maths Terminale. Étude de fonctions, optimisation, tangentes, convexité, équations différentielles : tout passe par f’(x). Si tu maîtrises ce chapitre, tu sécurises facilement 6 à 8 points sur l’épreuve. Voici des fiches de révision Bac maths Terminale sur les dérivées et l’étude de fonctions, avec méthodes claires et exercices type Bac corrigés. Tu peux aussi compléter ces révisions avec les fiches SVT Terminale et les fiches physique Terminale (maths appliquées) pour préparer l’ensemble du tronc scientifique.
Fiche 1 - Définition et calcul de la dérivée (niveau : ⭐⭐⭐)
Rappel cours :
- La dérivée de f en a est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0.
- Géométriquement, f’(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
- Une fonction est dérivable en a si cette limite existe et est finie.
Formule clé :
f’(a) = lim (h → 0) [f(a + h) - f(a)] / h
Question type Bac : Soit f(x) = x². Calcule f’(2) à l’aide de la définition.
✅ Correction détaillée :
- f(2 + h) = (2 + h)² = 4 + 4h + h²
- f(2 + h) - f(2) = 4 + 4h + h² - 4 = 4h + h²
- Taux d’accroissement : (4h + h²) / h = 4 + h
- Limite quand h → 0 : f’(2) = 4
Tu peux vérifier : f’(x) = 2x, donc f’(2) = 4. Cohérent.
Fiche 2 - Dérivées des fonctions usuelles (niveau : ⭐⭐)
Rappel cours : Apprends ce tableau par coeur. Au Bac, ces formules ne sont pas fournies.
| f(x) | f’(x) | Domaine |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | R |
| x | 1 | R |
| xⁿ (n entier) | n · xⁿ⁻¹ | R |
| 1/x | -1/x² | R\{0} |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
| ln(x) | 1/x | ]0 ; +∞[ |
| eˣ | eˣ | R |
| sin(x) | cos(x) | R |
| cos(x) | -sin(x) | R |
Formules d’opérations :
- (u + v)’ = u’ + v’
- (u × v)’ = u’v + uv’
- (u / v)’ = (u’v - uv’) / v²
- (u ∘ v)‘(x) = v’(x) × u’(v(x)) (composée)
Question type Bac : Dérive f(x) = (3x² + 1) × eˣ.
✅ Correction détaillée : Produit u × v avec u = 3x² + 1 et v = eˣ.
- u’ = 6x, v’ = eˣ
- f’(x) = u’v + uv’ = 6x · eˣ + (3x² + 1) · eˣ
- Factorisation : f’(x) = eˣ (3x² + 6x + 1)
Fiche 3 - Variations et tableau de variations (niveau : ⭐⭐⭐)
Rappel cours :
- Si f’(x) > 0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle.
- Si f’(x) < 0, f est strictement décroissante.
- Si f’(x) = 0 et change de signe, on a un extremum local (max ou min).
Méthode en 4 étapes :
- Calcule f’(x).
- Étudie le signe de f’(x) (factorise, identifie les racines).
- Dresse le tableau de signes de f’(x).
- Déduis le tableau de variations de f.
Question type Bac : Soit f(x) = x³ - 3x + 2 sur R. Étudie ses variations.
✅ Correction détaillée :
- f’(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
- Signe : f’(x) > 0 si x < -1 ou x > 1 ; f’(x) < 0 si -1 < x < 1
- Tableau de variations : f croissante sur ]-∞ ; -1], décroissante sur [-1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[
- f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 (maximum local)
- f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 (minimum local)
Fiche 4 - Tangente et équation (niveau : ⭐⭐⭐)
Rappel cours :
- La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est la droite qui “épouse” la courbe localement.
- Son coefficient directeur est f’(a).
- Elle passe par le point (a ; f(a)).
Formule clé :
y = f’(a)(x - a) + f(a)
Interprétation graphique : plus |f’(a)| est grand, plus la pente est raide. Si f’(a) = 0, la tangente est horizontale (extremum potentiel).
Question type Bac : Soit f(x) = ln(x). Donne l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse a = 1.
✅ Correction détaillée :
- f(1) = ln(1) = 0
- f’(x) = 1/x, donc f’(1) = 1
- Équation : y = f’(1)(x - 1) + f(1) = 1 × (x - 1) + 0
- Soit y = x - 1
La tangente à la courbe du logarithme au point (1 ; 0) a pour équation y = x - 1. Résultat à connaître.
Fiche 5 - Optimisation et problèmes concrets (niveau : ⭐⭐⭐)
Rappel cours : Optimiser, c’est trouver le maximum ou le minimum d’une fonction sur un intervalle.
Méthode :
- Modélise la situation par une fonction f.
- Précise l’intervalle d’étude (souvent imposé par le contexte : longueur > 0, etc.).
- Calcule f’(x), étudie son signe.
- Identifie l’extremum cherché à partir du tableau de variations.
- Conclus en revenant au contexte (avec unités).
Question type Bac : Une entreprise fabrique x objets par jour, avec un coût total C(x) = x² - 40x + 600 (en euros). Pour quel nombre d’objets le coût est-il minimal ?
✅ Correction détaillée :
- C’(x) = 2x - 40
- C’(x) = 0 ⇔ x = 20
- C’(x) < 0 si x < 20, C’(x) > 0 si x > 20 : C atteint son minimum en x = 20.
- C(20) = 400 - 800 + 600 = 200 euros
- Conclusion : le coût est minimal pour 20 objets fabriqués par jour, et vaut 200 €.
2 problèmes type Bac résolus
Problème 1 - Étude complète d’une fonction
Soit f définie sur R par f(x) = (x - 2) · eˣ. Étudie ses variations et trace son allure.
✅ Résolution :
- Dérivée (produit) : f’(x) = 1 · eˣ + (x - 2) · eˣ = eˣ (x - 1)
- eˣ > 0 toujours, donc le signe de f’(x) est celui de (x - 1).
- f’(x) < 0 si x < 1, f’(x) > 0 si x > 1.
- f décroissante sur ]-∞ ; 1], croissante sur [1 ; +∞[.
- Minimum en x = 1 : f(1) = (1 - 2) · e¹ = -e ≈ -2,72
- Limites : f(x) → 0 quand x → -∞ (croissance comparée), f(x) → +∞ quand x → +∞.
Problème 2 - Tangente et position relative
Soit f(x) = x² - 4x + 5. Donne l’équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 3, puis étudie la position de la courbe par rapport à T.
✅ Résolution :
- f(3) = 9 - 12 + 5 = 2
- f’(x) = 2x - 4, f’(3) = 2
- T : y = 2(x - 3) + 2 = 2x - 4
- Position : on étudie f(x) - (2x - 4) = x² - 4x + 5 - 2x + 4 = x² - 6x + 9 = (x - 3)²
- (x - 3)² ≥ 0 toujours, donc f(x) ≥ 2x - 4 partout : la courbe est au-dessus de la tangente, qui la touche en x = 3.
Méthode de révision maths Terminale
Refais 100% des exercices du cours. En maths, comprendre n’est pas suffisant : tu dois savoir refaire. Cible les exercices où ton prof a écrit “type Bac” ou “essentiel”. Refais-les jusqu’à les résoudre en moins de 10 minutes sans regarder.
Apprends les automatismes par coeur. Les dérivées des fonctions usuelles, les formules de produit / quotient / composée, l’équation de la tangente : ce sont des outils non négociables. Tu ne dois pas réfléchir pour dériver eˣ. Hiboux peut te générer des séries de “dérivations flash” pour automatiser.
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Questions fréquentes
Comment calculer la dérivée d'une fonction au Bac ?
Au Bac, on utilise rarement la définition par limite. On applique les formules des dérivées usuelles (xⁿ → n·xⁿ⁻¹, ln(x) → 1/x, eˣ → eˣ, sin → cos, cos → -sin) combinées aux règles de calcul : (u+v)' = u'+v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv')/v² et la formule de composée (u(v(x)))' = v'(x) × u'(v(x)). L'objectif est d'identifier la structure de la fonction (produit, quotient, composée) puis d'appliquer la bonne formule, en simplifiant le résultat.
Quelle est l'interprétation géométrique de la dérivée ?
La dérivée f'(a) en un point d'abscisse a représente le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe de f au point (a ; f(a)). Si f'(a) > 0, la courbe monte localement ; si f'(a) < 0, elle descend ; si f'(a) = 0, la tangente est horizontale et il y a potentiellement un extremum. L'équation de la tangente est y = f'(a)(x - a) + f(a). Cette interprétation est essentielle pour les problèmes d'optimisation et d'étude de fonctions.
Combien de temps réviser les dérivées pour le Bac ?
Compte 8 à 12 heures de révision ciblée sur les dérivées si tu pars avec les bases du cours assimilées. Répartition conseillée : 2h pour mémoriser les dérivées des fonctions usuelles et les règles de calcul, 3h sur le calcul de dérivées (produit, quotient, composée), 3h sur les tableaux de variations et l'étude de fonctions, 2h sur les tangentes et l'optimisation, 2h sur des sujets de Bac complets en conditions réelles. Ce chapitre représente 6 à 8 points à l'épreuve, c'est un investissement très rentable.
