Les limites sont le premier grand chapitre d’analyse de la Terminale, et la base de tout le reste (dérivées, étude de fonctions, intégrales). L’enjeu n’est pas de « deviner » une limite, mais d’appliquer des méthodes sûres, surtout face aux formes indéterminées. Voici une série d’exercices corrigés couvrant les situations classiques du programme et du bac.
1. Limites d’un quotient de polynômes en l’infini
Règle : en ±∞, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Pour un quotient, on compare les degrés.
Exercice 1. Calcule les limites en +∞. a) lim (2x² + 3)/(x² − 1) · b) lim (3x + 1)/(x² + 2) · c) lim (x³ + x)/(2x² + 1)
Corrigé : a) 2 : quotient de deux termes dominants 2x²/x² = 2 · b) 0 : le degré du dénominateur (2) dépasse celui du numérateur (1) · c) +∞ : le degré du numérateur (3) dépasse celui du dénominateur (2), et le rapport des termes dominants x³/(2x²) = x/2 → +∞.
2. Forme indéterminée ∞ − ∞
Exercice 2. Calcule lim (x² − x) en +∞.
Corrigé : +∞. On est face à « ∞ − ∞ » : on factorise par le terme dominant x² : x² − x = x²(1 − 1/x). Or x² → +∞ et (1 − 1/x) → 1, donc le produit → +∞.
3. Croissances comparées
À connaître par cœur : en +∞, e^x l’emporte sur toute puissance de x, et toute puissance de x l’emporte sur ln(x).
Exercice 3. Calcule les limites en +∞. a) lim e^x / x · b) lim ln(x) / x · c) lim x·e^(−x)
Corrigé : a) +∞ (l’exponentielle l’emporte) · b) 0 (la puissance l’emporte sur le ln) · c) 0 : x·e^(−x) = x/e^x → 0 (même raison qu’en a, inversée).
4. Limite en un point et asymptote verticale
Exercice 4. Soit f(x) = 1/(x − 2). Calcule la limite quand x → 2⁺ (par valeurs supérieures), puis quand x → 2⁻.
Corrigé : quand x → 2⁺, (x − 2) → 0⁺ donc 1/(x − 2) → +∞ ; quand x → 2⁻, (x − 2) → 0⁻ donc 1/(x − 2) → −∞. La droite d’équation x = 2 est une asymptote verticale.
5. Asymptote horizontale
Exercice 5. Soit f(x) = (2x + 1)/(x + 3). Détermine la limite en +∞ et interprète.
Corrigé : lim = 2 (rapport des termes dominants 2x/x). La droite y = 2 est une asymptote horizontale à la courbe en +∞.
S’entraîner jusqu’à l’automatisme
Les limites se maîtrisent par la répétition des méthodes (factoriser, comparer les degrés, reconnaître une croissance comparée). Plutôt que de chercher des annales éparses, Hiboux génère des exercices calibrés Terminale, avec corrigés rédigés :
« 6 exercices sur les formes indéterminées et les croissances comparées niveau Terminale, avec corrigés détaillés »
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