Si tu ne devais retenir qu’un chapitre de ta Première en spé maths, ce serait celui-là : la dérivation irrigue tout le programme de Terminale (études de fonctions, convexité, primitives) et une grande partie des sujets de bac. La bonne nouvelle : c’est un chapitre de technique - une fois les formules automatisées et la logique tangente/variations comprise, les points tombent. Ces 6 exercices corrigés couvrent la progression complète du chapitre.
Rappel de cours : la dérivation en Première
Le nombre dérivé
Le nombre dérivé de f en a, noté f’(a), est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. Il s’obtient comme limite du taux de variation de f entre a et a + h quand h tend vers 0.
Les formules à connaître par cœur
| Fonction f(x) | Dérivée f’(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | -1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
Les opérations
- (u + v)’ = u’ + v’ et (k·u)’ = k·u’
- Produit : (u·v)’ = u’v + uv’
- Quotient : (u/v)’ = (u’v - uv’) / v²
Le lien dérivée-variations (l’essentiel du chapitre)
Sur un intervalle : si f’ > 0, f est croissante ; si f’ < 0, f est décroissante ; si f’ s’annule en changeant de signe, f admet un extremum local.
Exercice 1 - Dériver un polynôme simple (niveau : ⭐)
Calcule la dérivée de :
f(x) = x² + 3x - 5
✅ Correction : on dérive terme à terme : la dérivée de x² est 2x, celle de 3x est 3, celle de la constante -5 est 0. Donc f’(x) = 2x + 3.
Exercice 2 - Dériver un polynôme de degré 3 (niveau : ⭐)
g(x) = 3x³ - 2x² + 7
✅ Correction : dérivée de 3x³ : 3 × 3x² = 9x². Dérivée de -2x² : -2 × 2x = -4x. Dérivée de 7 : 0. Donc g’(x) = 9x² - 4x.
Exercice 3 - Fonctions inverse et racine (niveau : ⭐⭐)
Calcule les dérivées de :
- h(x) = 5/x (pour x ≠ 0)
- k(x) = 4√x (pour x > 0)
✅ Correction : 1. h(x) = 5 × (1/x), donc h’(x) = 5 × (-1/x²) = -5/x². 2. k’(x) = 4 × 1/(2√x) = 2/√x. Piège classique : ne confonds pas la dérivée de 1/x (qui est -1/x², avec un signe moins) et celle de √x (qui est 1/(2√x), sans signe moins).
Exercice 4 - Dériver un produit (niveau : ⭐⭐)
f(x) = (2x + 1)(x² - 3)
✅ Correction : on pose u(x) = 2x + 1 (donc u’(x) = 2) et v(x) = x² - 3 (donc v’(x) = 2x). La formule du produit donne : f’(x) = u’v + uv’ = 2(x² - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x² - 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x - 6. Vérification possible : développe d’abord f(x) = 2x³ + x² - 6x - 3, puis dérive : 6x² + 2x - 6. Même résultat - c’est un excellent réflexe d’auto-contrôle en devoir.
Exercice 5 - Équation de la tangente (niveau : ⭐⭐⭐)
Soit f(x) = x². Détermine l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a = 3.
✅ Correction : la formule est y = f’(a)(x - a) + f(a). Ici f’(x) = 2x, donc f’(3) = 6, et f(3) = 9. D’où : y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = y = 6x - 9. Interprétation : au point (3 ; 9), la courbe de x² monte avec une pente de 6. Astuce : vérifie toujours que le point de tangence appartient bien à la droite obtenue (6 × 3 - 9 = 9 ✓).
Exercice 6 - Étudier les variations d’une fonction (niveau : ⭐⭐⭐)
Soit f(x) = x³ - 3x, définie sur ℝ. Étudie les variations de f et précise ses extremums locaux.
✅ Correction : 1) On dérive : f’(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1). 2) Signe de f’ : ce trinôme s’annule en x = -1 et x = 1 ; il est positif à l’extérieur des racines, négatif entre. 3) Conclusion : f est croissante sur ]-∞ ; -1], décroissante sur [-1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[. 4) Extremums : maximum local en x = -1, f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2 ; minimum local en x = 1, f(1) = 1 - 3 = -2. Présente toujours ce résultat dans un tableau de variations : c’est la forme attendue au bac.
Méthode pour réussir le chapitre dérivation
Automatise les formules d’abord. Dix dérivées simples par jour pendant deux semaines : le calcul de f’ doit devenir aussi fluide qu’une table de multiplication, sinon tu perdras ton énergie là où le raisonnement commence.
Comprends le sens géométrique. f’(a) est une pente, rien d’autre. Devant tout exercice de tangente, dessine mentalement : ça évite 90 % des erreurs de formule.
Rédige le signe de f’ systématiquement. Factorise f’ quand c’est possible (exercice 6), fais un tableau de signes, puis conclus sur les variations. C’est la trame de la moitié des exercices de bac.
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Questions fréquentes
À quoi sert la dérivation en Première ?
La dérivation sert d'abord à étudier les variations d'une fonction : le signe de la dérivée f' indique si f monte ou descend, ce qui permet de trouver les maximums et minimums - un outil essentiel pour les problèmes d'optimisation (maximiser une aire, minimiser un coût). Elle donne aussi l'équation de la tangente à une courbe, et elle est la fondation de la moitié du programme de Terminale (convexité, primitives, études complètes de fonctions).
Quelles formules de dérivation faut-il connaître par cœur en Première ?
Les dérivées des fonctions usuelles : une constante donne 0, x donne 1, x² donne 2x, x³ donne 3x², xⁿ donne n·xⁿ⁻¹, 1/x donne -1/x² et √x donne 1/(2√x). S'y ajoutent les règles d'opération : somme (u+v)' = u'+v', produit (uv)' = u'v+uv' et quotient (u/v)' = (u'v-uv')/v². Ces formules doivent être automatisées : au bac, le calcul de dérivée n'est jamais l'objectif, c'est le point de départ de l'exercice.
Comment trouver l'équation d'une tangente ?
Applique la formule y = f'(a)(x - a) + f(a), où a est l'abscisse du point de tangence. Concrètement, en trois étapes : calcule f(a) (l'ordonnée du point), calcule f'(x) puis f'(a) (la pente de la tangente), et remplace dans la formule avant de développer. Vérifie toujours ton résultat en testant que le point (a ; f(a)) appartient bien à la droite obtenue - cette vérification de 10 secondes évite la majorité des erreurs.
Comment étudier les variations d'une fonction avec sa dérivée ?
La démarche est toujours la même : 1) calculer f'(x) ; 2) étudier le signe de f'(x), en factorisant si possible (trinôme, facteur commun) et en dressant un tableau de signes ; 3) en déduire les variations dans un tableau de variations (f' positive = f croissante, f' négative = f décroissante) ; 4) calculer les valeurs de f aux points où f' change de signe (ce sont les extremums locaux). Cette trame en quatre étapes structure une grande partie des exercices du bac.
