Équations et inéquations sont l’outil de travail quotidien du lycéen en maths : elles servent à résoudre des problèmes, à étudier le signe d’une expression, à trouver les intersections de courbes. La Seconde consolide les équations et introduit les inéquations, avec un piège de signe à ne jamais oublier. Voici une série d’exercices corrigés.
1. Équations du premier degré
Exercice 1. Résous. a) 3x − 5 = 7 · b) 4x + 3 = 2x + 11
Corrigé : a) 3x = 12 → x = 4 · b) 4x − 2x = 11 − 3 → 2x = 8 → x = 4.
2. Équations produit
Règle : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.
Exercice 2. Résous. a) (x − 2)(x + 3) = 0 · b) (2x − 1)(x + 5) = 0
Corrigé : a) x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, donc x = 2 ou x = −3 · b) 2x − 1 = 0 ou x + 5 = 0, donc x = 1/2 ou x = −5.
3. Inéquations du premier degré
On résout comme une équation, avec une règle en plus : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.
Exercice 3. Résous et donne la solution sous forme d’intervalle. a) 2x + 1 > 5 · b) −3x ≥ 6
Corrigé : a) 2x > 4 → x > 2. Solution : ]2 ; +∞[. b) On divise par −3 (négatif), donc on inverse le sens : x ≤ −2. Solution : ]−∞ ; −2].
4. Le piège du signe (à retenir absolument)
Exercice 4. Vrai ou faux : « −2x < 8 équivaut à x < −4 » ?
Corrigé : Faux. On divise par −2, donc on inverse le sens : −2x < 8 équivaut à x > −4 (solution ]−4 ; +∞[). C’est l’erreur numéro 1 sur les inéquations : oublier de changer le sens en divisant par un négatif.
5. Tableau de signes d’un produit
Exercice 5. Étudie le signe du produit (x − 2)(x + 3) selon les valeurs de x.
Corrigé : les facteurs s’annulent en x = 2 et x = −3. En dressant un tableau de signes :
- pour x < −3 : (x − 2) < 0 et (x + 3) < 0 → produit positif ;
- pour −3 < x < 2 : (x − 2) < 0 et (x + 3) > 0 → produit négatif ;
- pour x > 2 : les deux facteurs > 0 → produit positif. Le produit est donc positif sur ]−∞ ; −3[ ∪ ]2 ; +∞[ et négatif sur ]−3 ; 2[.
S’entraîner jusqu’à l’automatisme
Équations et inéquations se maîtrisent par la répétition, surtout pour ancrer le réflexe du changement de sens. Plutôt que de chercher des annales éparses, Hiboux génère des exercices calibrés Seconde, avec corrigés :
« 6 inéquations du premier degré (dont avec coefficient négatif) niveau Seconde, avec corrigés »
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Référence : Programmes et ressources en mathématiques au lycée - Éduscol
